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Jordan 测度
从论文中把这部分去掉更简洁（内容大部分来自《数学分析讲义》）
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[text=Remark,
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\starttext
\startdefinition
$P$ 称为最简单图形，如果 $P$ 是有限个矩形的并．而这样的矩形称为标准矩形．
\stopdefinition
若用 $\mu(P)$ 表示最简单图形 $P$ 的面积，则很自然地我们要求其有如下性质：
\startitemize[n]
\item 对应每个有面积的图形 $P$，$\mu(P)$ 是非负的且单值确定的．
\item 边长为 $1$ 的正方形的面积等于 $1$．
\item $\mu(P)$ 是可加的，即若 $P=P_1\cup P_2$，$P_1\cap P_2=\emptyset$，则 $\mu(P)=\mu(P_1)+\mu(P_2)$．
\item $\mu(P)$ 是关于平面的任何运动都不变的．即如果 $P_1,P_2$ 可以借助绕某一点旋转，或通过平移，而彼此重合，那么 $\mu(P_1)=\mu(P_2)$．
\item $\mu(P)$ 是单调的，若 $P_1\subset P_2$ 则 $\mu(P_1)\le \mu(P_2)$．
\stopitemize
标准矩形可以不含于它的边上的任何一个点的子集．每个标准矩形都有面积，等于它相临两边的乘积．对于一般的平面有界图形 $P$，称一切包含 $P$ 的简单图形 $P_1$ 的面积 $\mu(P_1)$ 的下确界为 $P$ 的 Jordan 测度外测度，记为 $\mu^*(P)$．对应的称一切包含在 $P$ 内的简单图形 $P_2$ 的面积 $\mu(P_2)$ 的下确界为 $P$ 的 Jordan 测度内测度，记为 $\mu_*(P)$．
\startdefinition
$\mu(P)=\mu^*(P)$ 为图形 $P$ 的 Jordan 测度，如果 $\mu^*(P)=\mu_*(P)$．
\stopdefinition
我们来验证对于平面上的可测图形定义的非负函数 $\mu(P)$，具有那些最简单的图形所具有的单调性，关于平面运动的不变性，以及加性．
首先我们证明，可测图形的集合关于集合论的运算：集合的并、交、差，是封闭的．换言之，若图形 $P_1$ 和 $P_2$ 皆可测，则图形 $P_1\cup P_2$， $P_1\cap P_2$， $P_1 \backslash P_2$ 皆若尔当可测．
先证明两个集合的并的可测性．根据集合若尔当可测的准则，只需证明 $\mu(\partial(P_1\cup P_2))=0$．我们证明
\startformula
\partial(P_1\cup P_2) \subset \partial P_1\cup P_2.
\stopformula
任取 $x\in\partial(P_1\cup P_2)$．假设 $x\notin P_1,x\notin P_2$．那么点 $x$ 或是 $P_1$ 的内点，或是 $P_2$ 的内点，或者既是 $P_1$ 的外点又是 $P_2$ 的外点．由此推出，点 $x$ 相对于集合 $P_1\cup P_2$ 而言，或是内点，或是外点，而这与点 $x$ 属于集合 $P_1\cup P_2$ 的边界相矛盾．一次，两集合之并的边界是这两个集合的边界之并的子集合．
把可测集 $P_1$ 和 $P_2$ 放在一个标准正方形 $K$ 之中，那么集合 $K \backslash P_1$ 和 $K \backslash P_2$ 都是若尔当可测的，因为它们的边界包含在集合 $K,P_1,P_2$ 的边界的并集之中．由此推出集合
\startformula
P_1\cup P_2,\quad P_1\cap P_2=k \backslash [(K \backslash P_1)\cup (K \backslash P_2)]
\stopformula
都是可测集．
现考察函数 $\mu(P)$ 的单调性．若 $P_1\subset P_2$，则任何包含集合 $P_2$ 的最简单图形也都包含 $P_1$，因此 $\mu^*(P_1)\leq\mu^*(P_2)$．但因图形 $P_1$ 和 $P_2$ 都可测，所以
\startformula
\mu(P_1)=\mu^*(P_1)\leq\mu^*(P_2)=\mu(P_2).
\stopformula
这表明，函数 $\mu(P)$ 是单调的．
若尔当测度的平移不变性从最简单图形在平移之下面积不变，从而在平移之下量 $\mu^*(P)$ 和 $\mu_*(P)$ 不变这一事实推出．
进而，根据沙勒 (chasles) 定理，平面的任何运动都归结为对称，平移，以及绕一固定点的旋转．所以，为了完成若尔当侧度关于平面运动的不变性的证明，只需证明它关于平面绕一定点旋转的不变性．我们觉察到，在平面的旋转之下，最简单的图形的面积不变，然而它已不再是最简单的图形了．
于是，设给定若尔当可测图形 $P$．那么存在最简单的图形 $P_1,P_2$ 使得 $P_1\subset P\subset P_2$，且
\startformula
\mu(P_1)\leq\mu(P)<\mu(P_1)+\varepsilon,\quad \mu(P_2)-\varepsilon<\mu(P)\leq\mu(P_2),
\stopformula
而 $P_1$ 和 $P_2$ 皆可表示成有限个标准矩形的并集，在平面绕某不动点的旋转之下，图形 $P,P_1,P_2$ 分别变成可测图形 $Q,Q_1,Q_2$，且 $Q_1\subset Q \subset Q_2$．显然，只需要证明如果标准矩形在旋转之下变成了矩形 $H$，那么可将它含在一个开的最简单的图形 $H_1$ 中且让它包含一个闭的最简单图形 $H_1$，使得 $H_2\subset H \subset H_1$ 且差 $\mu(H_1)-\mu(H_2)$ 可以做到任意小．为此我们把矩形 $H$ 框在一个矩形 $H_0$ 中，$H_0$ 的边分别与 $H$ 平行且相距甚小．然后在 $H_0$ 内作最简单的图形，使之包含 $H$．它就是要找的 $H_1$．类似地构作图形 $H_2$．
现证若尔当测度的加性．我们首先看到，对于最简单的图形成立不等式
\startformula
\mu(A\cup B)\leq\mu(A)+\mu(B).
\stopformula
其次，设图形 $P_1$ 和 $P_2$ 是若尔当可测的且设 $P=P_1\cup P_2,P_1\cap P_2= \emptyset$．那么，根据集合的可测准则，图形 $P$ 是可测的，因为两个集合的并集的边界包含在它们边界的并集之中．我们来证明成立等式
\startformula
\mu(P)=\mu(P_1)+\mu(P_2).
\stopformula
根据图形 $P_1$ 和 $P_2$ 的可测性，对于任意的 $\varepsilon >0$，存在最简单的图形 $Q_1,Q_2,R_1,R_2$，使得 $Q_1\subset P_1\subset Q_2$，$R_1\subset P_2\subset R_2$ 且
\startformula
\startmathalignment
\NC\mu(Q_1)\leq\mu(P_1)<\mu(Q_1)+\varepsilon,\quad \mu(Q_2)-\varepsilon<\mu(P_1)\leq\mu(Q_2),\NR
\NC\mu(R_1)\leq\mu(P_2)<\mu(R_1)+\varepsilon,\quad \mu(R_2)-\varepsilon<\mu(P_2)\leq\mu(R_2).\NR
\stopmathalignment
\stopformula
此外，对于满足条件 $Q_1\cup R_1= \emptyset$ 的最简单图形 $Q_1$ 和 $R_1$ ，我们有 $\mu(Q_1\cup R_1)=\mu(Q_1)+\mu(R_1)$，且同样，$\mu(Q_2\cup R_2)\leq\mu(Q_2)+\mu(R_2)$．因此，考虑到集合论的包含关系
\startformula
(Q_1\cup R_1)\subset (P_1\cup P_2)=P\subset (Q_2\cup R_2)
\stopformula
我们得到
\startformula
\startmathalignment
\NC \mu(Q_1)+\mu(R_1)\NC =\mu(Q_1\cup R_1)\leq\mu(P)\leq \mu(Q_2\cup R_2) \NR
\NC \NC \leq \mu(Q_2)+\mu(R_2)<\mu(Q_1)+\mu(R_1)+ 4 \varepsilon. \NR
\stopmathalignment
\stopformula
同样显然有
\startformula
\mu(Q_1)+\mu(R_1) \leq \mu(p_1) +\mu(P_2)<\mu(P_1) + \mu(R_1) + 2 \varepsilon.
\stopformula
由此求得
\startformula
|\mu(P)-\mu(P_1)-\mu(p_2)| +\mu(P_2)<4 \varepsilon.
\stopformula
而根据 $\varepsilon$ 的选取的任意性，有
\startformula
\mu(P)=\mu(P_1)+\mu(p_2).
\stopformula
这就证明了若尔当测度的加性．
\stoptext