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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 | \usemodule[zhfonts][style=dim]\usezhfonts[rm,12pt]\setupinterlinespace[line=18pt]\setupindenting[always,2em,first]\starttext设 $f(x)$ 有泰勒展开式 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n$ 与 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^{\prime}(x-x_0)^n$ ．因为 $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^{\prime}(x-x_0)^n$,所以 \startformula\frac{f(\xi)}{(\xi-x_0)^k}=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^{\prime}\frac{(\xi-x_0)^n}{(\xi-x_0)^k}\stopformula因为 $f(x)$ 在以收敛半径 $r$ 为半径的开圆盘 $B(x_0,r)$ 内解析，所以 $f(x)$ 在 $B(x_0,r)$ 内闭一致收敛（魏尔斯特拉斯定理），所以\startformula \startalign\int_L\frac{f(\xi)}{(\xi-x_0)^k}\,{\rm d}\xi&=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{+\infty}\int_L\frac{a_n^{\prime}}{(\xi-x_0)^{k-n}}\,{\rm d}\xi\frac{f^{n}(x_0)}{n!}&=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{+\infty}\int_L\frac{a_n^{\prime}}{(\xi-x_0)^{k-n}}\,{\rm d}\xi\qquad(k=n+1)a_n&=a_n^{\prime} \qquad \text{右边因为}\frac{1}{2\pi i}\oint_L\frac{{\rm d}\xi}{(\xi-x_0)^n}= \startmathcases \NC 1, \NC if $n=1$,\NR \NC 0 ,\NC if $n\neq 1$.\NR\stopmathcases\stopalign\stopformula\stoptext |
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