test 2 - idle
test 2
\usemodule[zhfonts][style=dim] \usezhfonts[rm,12pt] \setupinterlinespace[line=18pt] \setupindenting[always,2em,first] \starttext 设 $f(x)$ 有泰勒展开式 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n$ 与 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^{\prime}(x-x_0)^n$ . 因为 $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^{\prime}(x-x_0)^n$, 所以 \startformula \frac{f(\xi)}{(\xi-x_0)^k}=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^{\prime}\frac{(\xi-x_0)^n}{(\xi-x_0)^k} \stopformula 因为 $f(x)$ 在以收敛半径 $r$ 为半径的开圆盘 $B(x_0,r)$ 内解析,所以 $f(x)$ 在 $B(x_0,r)$ 内闭一致收敛(魏尔斯特拉斯定理),所以 \startformula \startalign \int_L\frac{f(\xi)}{(\xi-x_0)^k}\,{\rm d}\xi&=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{+\infty}\int_L\frac{a_n^{\prime}}{(\xi-x_0)^{k-n}}\,{\rm d}\xi\frac{f^{n}(x_0)}{n!}&=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{+\infty}\int_L\frac{a_n^{\prime}}{(\xi-x_0)^{k-n}}\,{\rm d}\xi\qquad(k=n+1) a_n&=a_n^{\prime} \qquad \text{右边因为}\frac{1}{2\pi i}\oint_L\frac{{\rm d}\xi}{(\xi-x_0)^n}= \startmathcases \NC 1, \NC if $n=1$,\NR \NC 0 ,\NC if $n\neq 1$.\NR \stopmathcases \stopalign \stopformula \stoptext
这里的 TeX 显示效果太差,用 ConTeXt 编译或看下面。
2023年4月23日 19:48
crediblebh