出处 http://www.loyhome.cn/841.html  本人只是试写一下

设 \(f(x)\) 泰勒展开式 \( \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n\) 与 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^{\prime}(x-x_0)^n\)．

从 \(1,x,x^2,\,\ldots\,,x^n\,\ldots\) 中任取 \(n\,( n\ge 2)\) 个，按照的升幂排列后得 \(x^{i(1)},x^{i(2)},\,\ldots\,,x^{i(n)}\)．

设 \(k_1\cdot x^{i(1)}+k_2\cdot x^{i(2)}+\cdots+k_n\cdot x^{i(n)}=\bf 0\)，则当 \(k_i\,(i=1,2,\,\ldots\,,n)\) 不全为 \(0\) 时，由代数基本定理可知在 \(\mathbb{C}\) 上至多有 \(i(n)\) 个互不相等的 \(x\) 使等式成立．

所以只有当 \(k_i=0~(i=1,2,\,\ldots\,,n)\) 时该式恒成立，所以 \(1,x,x^2,\,\ldots\,,x^n\,\ldots\) 是线性无关的．

由前面假设有 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^{\prime}(x-x_0)^n=0\) ,由前面证明可得 \((x-x_0)\) 的各次幂线性无关，则可知 \(a_n=a_n^{\prime}\)．

对于 \(1,x,x^2,\,\ldots\,,x^n\,\ldots\) 是线性无关的，cloudly 建议用数学归纳法证明，我试了几次都失败了．

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