Jordan 测度 - idle

Jordan 测度

views63 posted @ 2010年10月10日 18:08 in I with tags 分析 数学 , 2850 阅读

从论文中把这部分去掉更简洁(内容大部分来自《数学分析讲义》)

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\starttext
\startdefinition
$P$ 称为最简单图形,如果 $P$ 是有限个矩形的并.而这样的矩形称为标准矩形.
\stopdefinition
若用 $\mu(P)$ 表示最简单图形 $P$ 的面积,则很自然地我们要求其有如下性质:

\startitemize[n]
\item 对应每个有面积的图形 $P$,$\mu(P)$ 是非负的且单值确定的.
\item 边长为 $1$ 的正方形的面积等于 $1$.
\item $\mu(P)$ 是可加的,即若 $P=P_1\cup P_2$,$P_1\cap P_2=\emptyset$,则 $\mu(P)=\mu(P_1)+\mu(P_2)$.
\item $\mu(P)$ 是关于平面的任何运动都不变的.即如果 $P_1,P_2$ 可以借助绕某一点旋转,或通过平移,而彼此重合,那么 $\mu(P_1)=\mu(P_2)$.
\item $\mu(P)$ 是单调的,若 $P_1\subset P_2$ 则 $\mu(P_1)\le \mu(P_2)$.
\stopitemize

标准矩形可以不含于它的边上的任何一个点的子集.每个标准矩形都有面积,等于它相临两边的乘积.对于一般的平面有界图形 $P$,称一切包含 $P$ 的简单图形 $P_1$ 的面积 $\mu(P_1)$ 的下确界为 $P$ 的 Jordan 测度外测度,记为 $\mu^*(P)$.对应的称一切包含在 $P$ 内的简单图形 $P_2$ 的面积 $\mu(P_2)$ 的下确界为 $P$ 的 Jordan 测度内测度,记为 $\mu_*(P)$.

\startdefinition
$\mu(P)=\mu^*(P)$ 为图形 $P$ 的 Jordan 测度,如果 $\mu^*(P)=\mu_*(P)$.
\stopdefinition

我们来验证对于平面上的可测图形定义的非负函数 $\mu(P)$,具有那些最简单的图形所具有的单调性,关于平面运动的不变性,以及加性.

首先我们证明,可测图形的集合关于集合论的运算:集合的并、交、差,是封闭的.换言之,若图形 $P_1$ 和 $P_2$ 皆可测,则图形 $P_1\cup P_2$, $P_1\cap P_2$, $P_1 \backslash P_2$ 皆若尔当可测.

先证明两个集合的并的可测性.根据集合若尔当可测的准则,只需证明 $\mu(\partial(P_1\cup P_2))=0$.我们证明
\startformula
\partial(P_1\cup P_2) \subset \partial P_1\cup P_2.
\stopformula
任取 $x\in\partial(P_1\cup P_2)$.假设 $x\notin P_1,x\notin P_2$.那么点 $x$ 或是 $P_1$ 的内点,或是 $P_2$ 的内点,或者既是 $P_1$ 的外点又是 $P_2$ 的外点.由此推出,点 $x$ 相对于集合 $P_1\cup P_2$ 而言,或是内点,或是外点,而这与点 $x$ 属于集合 $P_1\cup P_2$ 的边界相矛盾.一次,两集合之并的边界是这两个集合的边界之并的子集合.

把可测集 $P_1$ 和 $P_2$ 放在一个标准正方形 $K$ 之中,那么集合 $K \backslash P_1$ 和 $K \backslash P_2$ 都是若尔当可测的,因为它们的边界包含在集合 $K,P_1,P_2$ 的边界的并集之中.由此推出集合
\startformula
P_1\cup P_2,\quad P_1\cap P_2=k \backslash [(K \backslash P_1)\cup (K \backslash P_2)]
\stopformula
都是可测集.

现考察函数 $\mu(P)$ 的单调性.若 $P_1\subset P_2$,则任何包含集合 $P_2$ 的最简单图形也都包含 $P_1$,因此 $\mu^*(P_1)\leq\mu^*(P_2)$.但因图形 $P_1$ 和 $P_2$ 都可测,所以
\startformula
\mu(P_1)=\mu^*(P_1)\leq\mu^*(P_2)=\mu(P_2).
\stopformula
这表明,函数 $\mu(P)$ 是单调的.

若尔当测度的平移不变性从最简单图形在平移之下面积不变,从而在平移之下量 $\mu^*(P)$ 和 $\mu_*(P)$ 不变这一事实推出.

进而,根据沙勒 (chasles) 定理,平面的任何运动都归结为对称,平移,以及绕一固定点的旋转.所以,为了完成若尔当侧度关于平面运动的不变性的证明,只需证明它关于平面绕一定点旋转的不变性.我们觉察到,在平面的旋转之下,最简单的图形的面积不变,然而它已不再是最简单的图形了.

于是,设给定若尔当可测图形 $P$.那么存在最简单的图形 $P_1,P_2$ 使得 $P_1\subset P\subset P_2$,且
\startformula
\mu(P_1)\leq\mu(P)<\mu(P_1)+\varepsilon,\quad \mu(P_2)-\varepsilon<\mu(P)\leq\mu(P_2),
\stopformula
而 $P_1$ 和 $P_2$ 皆可表示成有限个标准矩形的并集,在平面绕某不动点的旋转之下,图形 $P,P_1,P_2$ 分别变成可测图形 $Q,Q_1,Q_2$,且 $Q_1\subset Q \subset Q_2$.显然,只需要证明如果标准矩形在旋转之下变成了矩形 $H$,那么可将它含在一个开的最简单的图形 $H_1$ 中且让它包含一个闭的最简单图形 $H_1$,使得 $H_2\subset H \subset H_1$ 且差 $\mu(H_1)-\mu(H_2)$ 可以做到任意小.为此我们把矩形 $H$ 框在一个矩形 $H_0$ 中,$H_0$ 的边分别与 $H$ 平行且相距甚小.然后在 $H_0$ 内作最简单的图形,使之包含 $H$.它就是要找的 $H_1$.类似地构作图形 $H_2$.

现证若尔当测度的加性.我们首先看到,对于最简单的图形成立不等式
\startformula
\mu(A\cup B)\leq\mu(A)+\mu(B).
\stopformula
其次,设图形 $P_1$ 和 $P_2$ 是若尔当可测的且设 $P=P_1\cup P_2,P_1\cap P_2= \emptyset$.那么,根据集合的可测准则,图形 $P$ 是可测的,因为两个集合的并集的边界包含在它们边界的并集之中.我们来证明成立等式
\startformula
\mu(P)=\mu(P_1)+\mu(P_2).
\stopformula
根据图形 $P_1$ 和 $P_2$ 的可测性,对于任意的 $\varepsilon >0$,存在最简单的图形 $Q_1,Q_2,R_1,R_2$,使得 $Q_1\subset P_1\subset Q_2$,$R_1\subset P_2\subset  R_2$ 且
\startformula
\startmathalignment
\NC\mu(Q_1)\leq\mu(P_1)<\mu(Q_1)+\varepsilon,\quad \mu(Q_2)-\varepsilon<\mu(P_1)\leq\mu(Q_2),\NR
\NC\mu(R_1)\leq\mu(P_2)<\mu(R_1)+\varepsilon,\quad \mu(R_2)-\varepsilon<\mu(P_2)\leq\mu(R_2).\NR
\stopmathalignment
\stopformula
此外,对于满足条件 $Q_1\cup R_1= \emptyset$ 的最简单图形 $Q_1$ 和 $R_1$ ,我们有 $\mu(Q_1\cup R_1)=\mu(Q_1)+\mu(R_1)$,且同样,$\mu(Q_2\cup R_2)\leq\mu(Q_2)+\mu(R_2)$.因此,考虑到集合论的包含关系
\startformula
(Q_1\cup R_1)\subset (P_1\cup P_2)=P\subset (Q_2\cup R_2)
\stopformula
我们得到
\startformula
\startmathalignment
\NC \mu(Q_1)+\mu(R_1)\NC =\mu(Q_1\cup R_1)\leq\mu(P)\leq \mu(Q_2\cup R_2) \NR
\NC \NC \leq \mu(Q_2)+\mu(R_2)<\mu(Q_1)+\mu(R_1)+ 4 \varepsilon. \NR
\stopmathalignment
\stopformula
同样显然有
\startformula
\mu(Q_1)+\mu(R_1) \leq \mu(p_1) +\mu(P_2)<\mu(P_1) + \mu(R_1) + 2 \varepsilon.
\stopformula
由此求得
\startformula
|\mu(P)-\mu(P_1)-\mu(p_2)| +\mu(P_2)<4 \varepsilon.
\stopformula
而根据 $\varepsilon$ 的选取的任意性,有
\startformula
\mu(P)=\mu(P_1)+\mu(p_2).
\stopformula
这就证明了若尔当测度的加性.
\stoptext

Jordan Measure.pdf

下午出门前挂机安装了这个

其实是个假象:在虚拟机里面安装的基于 Geento 制作的图形化安装发行版 Sabayon。

唉,什么时候能真正自己安装一个用来工作而不是用来玩?

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