代数中域定义

\(F \) 和定义在  \(F \) 二元关系加法"+"和乘法"  \(\cdot \)"

对于  \(a,b,c\in F \)

在加法和乘法上封闭， \(a+b\in F,a\cdot b \in F \)

加法和乘法符合结合律， \((a + b) + c = a +(b +c ),( a \cdot b )\cdot c= a\cdot (b\cdot c) \)

加法和乘法符合交换律，  \(a+b=b+a,a\cdot b=b\cdot a \)

符合乘法对加法的分配律  \(a\cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \)

存在加法单位， \(0\in F \)，使得  \(\forall a\in F,a + 0 = a \)

存在乘法单位元， \(0\neq a\in F \)，使得  \(a \cdot 1 = a \)

存在加法逆元， \(\forall a\in F \)，存在  \(- a \) 使得  \(a + (-a) = 0 \)

存在乘法逆元， \(\forall a\neq 0 \)，存在元素  \(a^{-1} \) 使得  \(a\cdot a^{-1} = 1 \)

分析中的定义

给定集合  \(S \) ，若  \(\cal F \) 是  \(S \) 的一子集族，如果 \(\cal F \) 满足：

1. \(\emptyset \in \cal F  \)

2. \(A\in {\cal F}\Rightarrow A^c\in\cal F \)

3. \(A,B\in{\cal F}\Rightarrow A\cup B\in\cal F \)

不知道上课的时候有没有人想过：这两个“域”是同一个概念吗？

 \(\triangle \)相当于“+”， \(\cap \) 相当于“ \(\cdot \)”

在加法和乘法上封闭

 \(A\triangle B=(A\cup B)-(B\cap A)=(A\cup B)\cap (A^c\cup B^c) \)

按分析中域的定义

 \((A\cup B), (A^c\cup B^c)\in \cal F \)

又  \(A\cap B=(A^c\cup B^c)^c \)

所以  \(A\triangle B,A\cap B\in\cal F \)

加法和乘法符合结合律， \((A\triangle B) \triangle C = A \triangle (B\triangle C),(A \cap B)\cap C = A \cap (B\cap C) \)

存在零元， \(\emptyset\in {\cal F} \)，使得  \(\forall a\in {\cal F},A \triangle\emptyset =A \)

存在乘法单位元， \(\emptyset\neq A\in {\cal F} \)，使得  \(A \cap S = A \)

存在加法逆元， \(\forall A\in F \)，存在  \(A \) 使得  \(A \triangle A = \emptyset \)

但不存在乘法的逆元.

而由分析中的定义可得  \(A,B\in {\cal F}\Rightarrow A\cap B=(A^c\cup B^c)^c\in \cal F \)

 \(A-B=A\cap B^c \) 进而  \(A\triangle B=(A\cup B)-(B\cap A)\in\cal F \)

所以分析中所说的域只构成代数中的有单位元的交换环

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